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$(1+x)^{t}=1+{\frac {t\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{3!}}+\ldots$

mais on a aussi (15)

$(1+x)^{t}=1+{\frac {t}{1}}x+{\frac {t}{1}}.{\frac {t-1}{2}}x^{2}+{\frac {t}{1}}.{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.x^{3}+\ldots$

donc en égalant ces valeurs, supprimant rimité de part et d’autre, et divisant ensuite par t,

$\operatorname {l} (1+x)+t\left\{{\frac {\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{2!}}+{\frac {t\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{3!}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} ^{4}(1+x)}{4!}}+\ldots \right\}$

$=x+{\frac {t-1}{2}}x^{2}+{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.x^{3}+{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.{\frac {t-3}{4}}.x^{4}+\ldots$

d’où en faisant $t=0$

$\operatorname {l} (1+x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\ldots \qquad$(22)

tel est donc le développement du logarithme Népérien de $1+x.$

Terminons par le développement des fonctions circulaires^[1]. Si, dans l’équation (21), on fait $t=\pm x{\sqrt {-1}},$ elle deviendra

$e^{\pm x{\sqrt {-1}}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \pm {\sqrt {-1}}\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$(23)

de sorte qu’en posant

1. M. Ampère acquitte ici l’engagement qu’avait pris M. de Stainville à la page 240 du IX.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.