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résultat dont la symétrie prouve qu’il y a autant de termes dans une équation complète du $m.$^me degré entre $n$ inconnues qu’il y en a dans une équation complète du $n.$^me degré entre $m$ inconnues^[1].

Passons au développement des fonctions exponentielles et logarithmiques. Si, dans l’équation (14) qui a lieu, quels que soient $m,p,x,z,$ on fait $x=1,\ p=0,\ z=1$ et $m=At,$ elle devient

$\left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots \right)^{At}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots \,;$

ou en représentant par $e$ la série du premier membre,

$e^{At\ {\underline {\mathrm {pos} }}}$ ou $\left(e^{A}\right)^{t}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots$

Posant $e^{A}=a,$ auquel cas $A$ sera le logarithme Népérien de $e,$ on aura

$a^{t}=1+{\frac {t\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} a^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {l} a^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}\operatorname {l} a^{4}}{4!}}+\ldots \qquad$(20)

puis, en changeant $a$ en $e$

$e^{t}=1+{\frac {t}{1}}+{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}+\ldots \qquad$(21)

qui aura lieu quel que soit $t.$

En changeant, dans la formule (20), $a$ en $1+x,$ elle devient

1. On peut aussi consulter, sur ce sujet, la page 282 du XIII.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.