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duits indépendans de $a$ que nous avons formés est $(m-1)P_{n-1},$ et que chacun d’eux se trouve répété $n$ fois, il en résulte que le nombre des produits réellement différens de $n$ facteurs qui ne renferment pas $a$ est seulement ${\frac {m-1}{n}}P_{n-1}\,;$ en y ajoutant donc le nombre $P_{n-1}$ des produits de $n$ facteurs qui renferment cette lettre, nous aurons, pour le nombre total $P_{n}$ des différens produits de $n$ facteurs, $P_{n-1}+{\frac {m-1}{n}}P_{n-1}$ ou ${\frac {m+n-1}{n}}P_{n-1}\,;$ c’est-à-dire, que nous aurons

$P_{n}={\frac {m+n-1}{n}}P_{n-1}.\qquad$(18)

Observant donc que $P_{1}=m={\frac {m}{1}},$ et faisant successivement, $n=1,$$n=2,\ n=3,\ldots$ il viendra

${\begin{aligned}&P_{1}={\frac {m}{1}},\\\\&P_{2}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}},\\\\&P_{3}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&P_{n}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}\,;\end{aligned}}$

au moyen de quoi l’équation (17) deviendra

$(1-z)^{-m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}z^{3}+\ldots$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}z^{n}+\ldots$

ou en changeant $z$ en $-{\frac {a}{x}},$ et multipliant ensuite les deux membres par $x^{-m}.$