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${\sqrt[{n}]{\operatorname {f} (mx)}}=\operatorname {f} \left({\frac {m}{n}}x\right)\,;$

mais, en supposant $m$ un nombre entier positif, on a (9)

$\operatorname {f} (mx)=\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m},$

donc finalement

${\sqrt[{n}]{\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}}}\quad$ou$\quad \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{\frac {m}{n}}=\operatorname {f} \left({\frac {m}{n}}x\right).\qquad$(11)

Voilà donc la formule (9), qui n’étoit d’abord démontrée que pour un exposant entier positif, qui se trouve l’être présentement pour un exposant fractionnaire positif, et par suite pour un exposant positif quelconque.

Si, dans L’équation (6), on fait $u=-t=-x,$ elle deviendra

$\operatorname {f} (x).\operatorname {f} (-x)=\operatorname {f} (x-x)=\operatorname {f} (0)\,;$

or il est aisé de voir (5) que $f(0)=1\,;$ donc

$\operatorname {f} (-x)={\frac {1}{\operatorname {f} (x)}}.\qquad$(12)

Si ensuite nous changeons $x$ en $mx,$ nous aurons, en renversant,

${\frac {1}{\operatorname {f} (mx)}}=\operatorname {f} (-mx)\,;$

mais nous venons de prouver que, quelque nombre positif, entier ou fractionnaire ou même incommensurable qu’on, prenne pour $x,$ on a toujours

$\operatorname {f} (mx)=\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m},$

donc, en substituant.