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En les multipliant alors membre à membre, il viendra

${\begin{array}{r|r|r|r|r}\operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}&z+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}&z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t}}]}{3!}}&z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t}}]}{n!}}&z^{n}+\ldots \\\\+{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {n-1}{t}}]}{(n-1)!}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+\ldots \\\\&+{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+{\frac {[{\overset {n-2}{t}}]}{(n-2)!}}{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+\ldots \\\\&&+{\frac {[{\overset {3}{u}}]}{3!}}&+\ldots \ldots &+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}{\frac {[{\overset {n-2}{u}}]}{(n-2)!}}&+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1!}}{\frac {[{\overset {n-1}{u}}]}{(n-1)!}}&+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {n}{u}}]}{n!}}&+\ldots \\\\\end{array}}$

développement qui, à l’aide de la formule (4), peut être écrit ainsi

$\operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t+u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t+u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t+u}}]}{3!}}z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t+u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \,;$

mais si, dans la première des formules (7) on change $t$ en $t+u,$ elle deviendra

$\operatorname {f} (t+u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t+u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t+u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t+u}}]}{3!}}z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t+u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \,;$

donc, en effet,