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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {(x+y)^{m}}{m!}}={\frac {x^{m}}{m!}}+{\frac {y}{1}}.{\frac {x^{m-1}}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {y^{n}}{n!}}.{\frac {x^{m-n}}{(m-n)!}}+\ldots$

$+{\frac {y^{m-1}}{(m-1)!}}.{\frac {x}{1}}+{\frac {y^{m}}{m!}}.$(3)

${\frac {[{\overset {m}{x+y}}]}{m!}}={\frac {[{\overset {m}{x}}]}{m!}}+{\frac {[{\overset {1}{y}}]}{1}}.{\frac {[{\overset {m-1}{x}}]}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{y}}]}{n!}}.{\frac {[{\overset {m-n}{x}}]}{(m-n)!}}+\ldots$

$+{\frac {[{\overset {m-1}{y}}]}{(m-1)!}}.{\frac {[{\overset {1}{x}}]}{1}}+{\frac {[{\overset {m}{y}}]}{m!}}.$(4)

À l’aide de ces résultats, on peut démontrer commodément un théorème très-fécond en telles conséquences ; lequel consiste en ce que, si l’on a

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {t}{1}}z+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}z^{2}+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}.{\frac {t+3p}{4}}z^{4}+\ldots \\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {u}{1}}z+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}z^{2}+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}.{\frac {u+3p}{4}}z^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}(5)$

on aura

$\operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=\operatorname {f} (t+u).$^[1]$\qquad$(6)

Les équations (5) peuvent, en effet, être écrites ainsi

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t}}]}{3!}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{t}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t}}]}{n!}}z^{n}+\ldots ,\\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{u}}]}{3}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{u}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \end{aligned}}\right\}(7)$

1. C’est le théorème de M. de Stainville, démontré à la page 229 du IX.^e volume du présent recueil, généralisé à la pag. 270 du XIII.^e vol., et reproduit postérieurement comme sien, avec les mêmes notations, par M. le professeur J. Wallace, de Colombie (Americ. Journ. of sciences, fév. 1824, p. 278).
   J. D. G.