![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+{\frac {m+1}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8fdd3ca9ad6a9a456d414ba153da3b49b376ee)
![{\displaystyle +{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4738a0d586d67cacc323d0efffc3a2d902bc088e)
qui est bien ce que devient l’équation (2), lorsqu’on y change 
en 
Mais, afin qu’il n’y ait point d’induction dans tout ceci, remarquons que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n-1}{y}}]\times \left(y+{\overline {n-1}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1372557a82ae646033a7216f519c3e37e010ac)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc93bb8ca9ce9f6e9fd3783f8b683da7d93b2e7)
et que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n}{x}}][{\overset {n}{y}}]\times \left(x+{\overline {m-n}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cfb416e3fe987a3659c0dbae04e96a2ae7a68)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03540a33992cd91f7e8829ba4a2e4eeba419c821)
et que ces termes du second membre seront les seuls en ![{\displaystyle [{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b4555d4862f5f65c93200374c9583e4da16cc0)
or, en les réduisant en un seul, il vient
![{\displaystyle {\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}\ldots {\frac {m-n+2}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a69544896699849bfab7ae8bccbe7f4f03e4fe0)
qui est bien ce que devient le (n+1).me terme du second membre de l’équation (2), lorsqu’on y change en 
il demeure donc établi que, si la proposition est vraie pour ![{\displaystyle [{\overset {m}{x+y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6edfbcd5731cd3792f398b42f9d202f2d50a0e)
elle le sera également pour ![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e7b525e947eb9839632786ddb8c5336c7c04f0)
or, nous avons prouvé qu’elle était vraie pour ![{\displaystyle [{\overset {1}{x+y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53b4755a24a1165a023e73725f669c1042dc240)
et pour ![{\displaystyle [{\overset {2}{x+y}}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5cb2db3702ba97db3f53b54a4a619c8410c7cf)
cette proposition est donc vraie, quel que soit le nombre entier positif 
Adoptons 
avec M. Kramp, comme le symbole du produit 
en divisant, tour à tour, les deux membres du développement de 
et de ![{\displaystyle [{\overset {m}{x+y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063bd7a8a2ee33dc3859589d11d49efd3a27a143)
par il vient
