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de sorte que la démonstration de cette proposition se réduit à faire voir que, si elle a lieu pour la faculté du $m$.^me degré, elle sera vraie aussi pour celle du $(m+1).$^me.

Pour y parvenir, multiplions la quantité $x+y+mp$ par les deux membres de l’équation (2). Il est d’abord clair que le premier membre de l’équation-produit sera $[{\overset {m+1}{x+y}}].$ Pour exécuter la multiplication par le second membre de l’équation (2), considérons tour à tour le multiplicande $x+y+mp$ comme

$(x+mp)+y,\qquad \qquad \qquad \quad \$ pour la multiplication par le 1.^er terme,

$\left(x+{\overline {m-1}}.p\right)+(y+p),\ \qquad$ pour la multiplication par le 2.^e,

$\left(x+{\overline {m-2}}.p\right)+(y+2p),\qquad$ pour la multiplication par le 3.^e,



$\left(x+{\overline {m-n+1}}.p\right)+(y+{\overline {n-1}}.p),$ pour la multiplication par le $n.$^me,

$\left(x+{\overline {m-n}}.p\right)+(y+{\overline {n}}.p),$ pour la multiplication par le $(m+1).$^me ;

on trouvera d’abord, pour les premiers termes du résultat,

$[{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]$

$\ +{\frac {m}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]$

$\,+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots \,;$

ce qui donne en effet, en opérant la réduction, entre les termes qui renferment les mêmes facultés,