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degré par $[{\overset {n}{x}}]\,;$ $p$ étant une quantité prise à volonté, entière ou fractionnaire, positive ou négative,

Il suit de cette notation que

$\left.{\begin{aligned}&[{\overset {1}{x}}]\quad =x,\\&[{\overset {2}{x}}]\quad =[{\overset {1}{x}}](x+p),\\&[{\overset {3}{x}}]\quad =[{\overset {2}{x}}](x+2p),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&[{\overset {m+1}{x}}]=[{\overset {m}{x}}](x+mp).\end{aligned}}\right\}\quad (1)$

On peut énoncer ces facultés en disant : $x$ faculté $1,\ x$ faculté $2,$ $x$ faculté $3,\ldots ,\ x$ faculté $n,$ pour $[{\overset {1}{x}}],\ [{\overset {2}{x}}],\ [{\overset {3}{x}}],\ldots [{\overset {n}{x}}].$

Ces notations admises, il existe entre les facultés numériques et les puissances une analogie remarquable qui consiste en ce que la faculté d’un degré quelconque d’un binôme s’obtient en substituant aux puissances des deux termes du binôme, dans le développement de la puissance du même degré de ce binôme, les facultés des mêmes degrés de ses deux termes ; de telle sorte qu’en général

$[{\overset {m}{x+y}}]=\left\{{\begin{aligned}&[{\overset {m}{x}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {2}{y}}]+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n-1}{y}}]\\&+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n}{x}}][{\overset {n}{y}}]+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {2}{x}}][{\overset {m-2}{y}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {1}{x}}][{\overset {m-1}{y}}]+[{\overset {m}{y}}].\end{aligned}}\right\}(2)$

La proposition est d’abord évidente pour les facultés des premiers degrés. On a en effet (1)

$[{\overset {1}{x+y}}]=x+y=[{\overset {1}{x}}]+[{\overset {1}{y}}],$

$[{\overset {2}{x+y}}]=(x+y)(x+y+p)=x(x+p)+2xy+y(y+p)=[{\overset {2}{x}}]+2[{\overset {1}{x}}][{\overset {1}{y}}]+[{\overset {2}{y}}]\,;$