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En second lieu ; dans le XIX.^e cahier du Journal de l’école polytechnique (pag. 575), si, dans la formule (7) de M. Cauchy, on fait $v'=0,\ v''=\varpi ,$$u'=1,\ u''=0,$ elle devient

$\int _{+1}^{0}\left\{e^{\varpi {\sqrt {-1}}}\left(ue^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {f} (u)\right\}\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }\left\{\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\right\}e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} v,$

qui se réduit à

$\int _{0}^{1}\left\{\operatorname {f} (-u)+\operatorname {f} (u)\right\}\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }\left\{\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\right\}e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} v\,;$

ou bien

$\int _{-1}^{+1}\operatorname {f} (u)\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} v\,;$

on néglige ici $\Delta ,$ à cause de l’hypothèse de M. Vernier ; et l’on retombe encore, comme on voit, aux notations près sur sa formule (P).

Maintenant, si, dans la formule (3) du même mémoire (pag. 574), on fait $U+V{\sqrt {-1}}=u.e^{-v+v{\sqrt {-1}}},$ on aura

${\frac {\operatorname {d} \left(U+V{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} u}}=e^{-v+v{\sqrt {-1}}},\ {\frac {\operatorname {d} \left(U+V{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} v}}=\left(-1+{\sqrt {-1}}\right)ue^{-v+v{\sqrt {-1}}}\,;$

ce qui change les fonctions $\chi$ et $\psi$ de cette formule en deux autres qui, substituées dans la formule (5) de ce même mémoire, donnent