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M. Vernier une sorte de vérification de ses formules qui ne pourra que lui inspirer un nouveau degré de confiance dans les résultats, de ses recherches.

Par exemple, dans le Bulletin des sciences pour 1822 (pag. 169), M. Cauchy a donné la formule

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {f} \left(\operatorname {Cos} .p+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .p\right)}{\operatorname {F} \left(\operatorname {Cos} .p+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .p\right)}}\operatorname {d} p={\sqrt {-1}}\int _{-1}^{+1}{\frac {\operatorname {f} (r)}{r\operatorname {F} (r)}}\operatorname {d} r+$ etc.,

où les termes qui suivent le premier, dans le second membre, ne doivent point être employés dans le cas particulier que M. Vernier considère. Or, si l’on pose, en général, ${\frac {\operatorname {f} (u)}{u\operatorname {F} (u)}}=\varphi (u),$ d’où ${\frac {\operatorname {f} (u)}{\operatorname {F} (u)}}=u\varphi (u),$ et qu’on ne garde que le premier terme du second membre, il viendra

$\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .p+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .p\right)\varphi \left(\operatorname {Cos} .p+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .p\right)\operatorname {d} p={\sqrt {-1}}\int _{-1}^{+1}\varphi (r)\operatorname {d} r\,;$

ou bien

$\int _{0}^{\varpi }e^{p{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} p={\sqrt {-1}}\int _{-1}^{+1}\varphi (r)\operatorname {d} r\,;$

d’où

$\int _{-1}^{+1}\varphi (r)\operatorname {d} r=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{p{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} p\,;$

qui est exactement, aux notations près ; la formule (P), donnée par M. Vernier, à la page 180.