c’est-à-dire, l’équation (5) elle-même ; donc, suivant la théorie des enveloppes, les valeurs de et données par les équations (4) et (5) sont les coordonnées du point où le cercle donné par l’équation (4) est touché par l’enveloppe de tous les cercles décrits sous les mêmes conditions ; donc le rayon réfracté, qui part du centre de ce cercle, est normal à l’enveloppe en ce point ; donc les rayons réfractés ne sont autre chose que les normales aux différens points de l’enveloppe ; donc la caustique formée par les intersections consécutives de ces rayons, c’est-à-dire, la courbe à laquelle ils sont tangens, n’est autre que la développée de cette enveloppe : or c’est précisément en cela que consiste le Théorème II ; ce théorème est donc complètement démontré ; le Théorème I l’est donc également, puisqu’il n’est qu’un cas particulier de celui-là.
Si, au lieu de donner la surface séparatrice on donnait l’enveloppe, c’est-à-dire, la trajectoire orthogonale de tous les rayons réfractés, en éliminant et entre l’équation de cette trajectoire et les équations (4) et (5), puis et entre l’équation résultante, l’équation et l’équation (2) ; l’équation qu’on obtiendrait, en serait l’équation différentielle de la courbe séparatrice inconnue.
Si, la courbe séparatrice et la trajectoire orthogonale des rayons réfractés étant données, on demandait la trajectoire orthogonale des rayons incidens, entre l’équation de la première trajectoire et les équations (4) et (5), on éliminerait d’abord et on éliminerait ensuite et entre l’équation résultante, l’équation et l’équation (2) ; et l’équation en à laquelle on parviendrait ainsi serait celle de la trajectoire orthogonale des rayons incidens.
Ainsi, de ces trois courbes, la trajectoire orthogonale des rayons
