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$(x-t)^{2}+(y-u)^{2}={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(t-t')^{2}+(u-u')^{2}\right\},\qquad$(4)

$(x-t)^{2}+p(y-u)={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(t-t')+p(u-u')\right\}\,;\qquad$(5)

car, en divisant la racine quarrée de la première par la seconde, on retombe sur la proposée ; donc les équations (4) et (5), pour chaque point de départ $(t',u')$ d’un rayon incident, feront connaître un des points de la direction du rayon réfracté. Examinons quel est ce point.

L’équation (4) est celle d’un cercle qui a son centre $(t,u)$ sur la courbe séparatrice des deux milieux et dont le rayon ${\frac {n}{m}}{\sqrt {(t-t')^{2}+(u-u')^{2}}}$ est à la distance ${\sqrt {(t-t')^{2}+(u-u')^{2}}}$ de ce centre à la courbe des points de laquelle émanent les rayons incidens dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence ; ainsi le point de la direction du rayon réfracté donné par les deux équations (4) et (5) doit être un des points de la circonférence d’un tel cercle.

Si l’on prend la dérivée de l’équation (4) par rapport à $t,u,t',u',$ considérés comme quatre paramètres variables, liés entre eux par les deux équations $V=0,\ V'=0$ et par l’équation (2) ; ou, ce qui revient au même ; si on la différentie par rapport à $t'$ en y considérant $t,u,u',$ comme des fonctions de cette variable indépendante, et $x$ et $y$ comme constans, en observant que ${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t'}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}=p{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}},$ il viendra

$\left\{(x-x')+p(y-y')\right\}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}=$

${\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{\left[(t-t')+p(u-u')\right]{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}-\left[(t-t')+p(u-u')\right]\right\}\,;$

ou simplement, en vertu de l’équation (2), et en divisant par ${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}$