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${\frac {\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}}}{(x-t)+p(y-u)}}.{\frac {p-p'}{\sqrt {1+p^{'2}}}}={\frac {m}{n}}\,;\qquad$(1)

de plus, les coordonnées $t$ et $u,|t'$ et $u'$ se trouveront liées par la condition

${\frac {u-u'}{t-t'}}=-{\frac {1}{p'}},$

c’est-à-dire,

$(t-t')+p'(u-u')=0,\qquad$(2)

au moyen de laquelle l’équation (1) deviendra

${\frac {\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}}}{(x-t)+p(y-u)}}.{\frac {(t-t')+p(u-u')}{(x-t')^{2}+(u-u')^{2}}}={\frac {m}{n}}.\qquad$(3)

Cela posé, si l’on prend un quelconque des systèmes de valeurs de $t$ et $u'$ donnés par l’équation $V'=0,$ ainsi que la valeur correspondante de $p',$ pour les substituer dans l’équation (2), l’équation résultante en $t$ et $u,$ combinée avec $V=0,$ donnera les valeurs correspondantes de $t,u$ et $p\,;$ et, en substituant ces valeurs dans (3), l’équation qu’on en obtiendra, en $x$ et $y,$ sera indistinctement satisfaite par tous les points de la direction du rayon réfracté.

Puis donc que cette équation laisse $x$ et $y$ indéterminés, et n’établit entre elles qu’une simple relation, il doit nous être permis de la décomposer arbitrairement en deux autres, qui alors donneront, pour $x$ et $y,$ les coordonnées d’un point déterminé de la direction du rayon réfracté qui répond au point de départ $(x,y)$ du rayon incident.

Or, on satisfait à cette équation, en posant à la fois,