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quelconques, soit $(t',u')$ un point de la seconde courbe, duquel jaillit un rayon incident ; soit $(t,u)$ le point d’incidence sur la première courbe ; soit $(x,y)$ un quelconque des points de la direction du rayon réfracté ; et prenons enfin $X,Y$ pour symbole des coordonnées courantes.

Les coordonnées $t$ et $u$ devront être liées par une relation connue ; et il en sera de même de $t'$ et $u'.$ Représentons ces deux relations par

$\varphi (t,u)=V=0,\qquad \varphi '(t',u')=V'=0.$

De ces deux relations on déduira, en $t$ et $u,\ t'$ et $u',$ les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}$ et ${\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} t'}}\,;$ valeurs que, pour abréger, nous représenterons respectivement par $p$ et $p'.$

Les équations du rayon incident, du rayon réfracté et de la normale au point d’incidence seront respectivement

${\begin{aligned}Y-u&=-{\frac {1}{p'}}(X-t),\\\\Y-u&={\frac {y-u}{x-t}}(X-t),\\\\Y-u&=-{\frac {1}{p}}(X-t).\end{aligned}}$

On aura, en conséquence, par les formules connues

Sinus d’incidence $={\frac {p-p'}{\sqrt {\left(1+p^{2}\right)\left(1+p'^{2}\right)}}}$

Sinus de réfraction $={\frac {(x-t)+p(y-u)}{\sqrt {\left(1+p'^{2}\right)\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}}}}$

en divisant ces deux formules l’une par l’autre, on devra donc avoir