Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/352

aux plans des faces de l’angle trièdre, et dont les cosinus sont $a',b',c',$ peuvent être égaux aux angles dièdres $\mathrm {X,Y,Z}$ ou bien en être les supplémens. La question se décide par l’examen d’un cas particulier. Quand les angles plans $zx,xy$ sont droits, ce qui rend $b$ et $c$ nuls, l’angle $(y,z)$ ne diffère pas de l’angle dièdre $\mathrm {X,}$ et l’on a $a=\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \,;$ mais nos formules donnent, en même temps $-a=a',$ donc $a'=-\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \,;$ d’où l’on conclut qu’en général $a',b',c'$ sont les cosinus des supplémens des angles dièdres $\mathrm {X,Y,Z.}$ Quant à $\mathrm {A,B,C,}$ ce sont visiblement les sinus des angles que font les arêtes avec les faces opposées, angles que, pour abréger, nous dénoterons simplement par $\mathrm {X',Y',Z'} .$ Désignant en outre, pour abréger, $x,y,z,$ respectivement, les angles $(y,z),(z,x),(x,y)\,;$ les formules ci-dessus deviendront

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k,\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k'\,;\end{aligned}}$

${\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .\mathrm {X} }}={\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} }}={\frac {\operatorname {Sin} .z}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} }}={\frac {k}{k'}},$

$\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\mathrm {X} =\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z,$

$\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .\mathrm {X} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,$

$\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} =\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x,$

$\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,$

$\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} =\operatorname {Cos} .z-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y,$

$\operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} +\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} .$

Nous retrouvons donc ainsi l’ensemble des formules de la trigonométrie sphérique.

Le volume $\mathrm {P}$ du parallélipipède construit sur les grandeurs et directions des coordonnées $x,y,z,$ est égal à l’aire de la face qui renferme les coordonnées $x$ et $y$ multipliée par la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette face de l’extrémité de l’arête $z$ qui lui est opposée. Or, l’aire de cette face est $xy\operatorname {Sin} .(x,y),$ et la perpendiculaire a pour expression $z\operatorname {Cos} .(z,xy)$ ou $z\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '\,;$ donc

$\mathrm {P} =xyz\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '\,;$

mais nous avons trouvé