Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/351

$\left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad BC(b'c'-a')=ak^{2},\\B^{2}\left(1-b'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad CA(c'a'-b')=bk^{2},\\C^{2}\left(1-c'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad AB(a'b'-c')=ck^{2}.\end{array}}\right\}\quad (26)$

Équations dont le système équivaut évidemment à celui des premières.

Les axes des $x,y,z$ sont les arêtes d’un angle trièdre dont les angles plans sont $(x,y),(y,z),(z,x)\,;$ et dont nous désignerons les angles dièdres respectivement opposés par $\mathrm {X,Y,Z.}$ On peut supposer que les perpendiculaires élevées aux faces de cet angle trièdre, sont tellement dirigées que les angles qu’elles font avec les arêtes opposées n’excèdent pas l’angle droit ; alors les cosinus $A,B,C$ de ces angles sont positifs, et les équations de gauche (25) et (26) donnent

${\begin{array}{ll}A{\sqrt {1-a^{2}}}=k,&\qquad A{\sqrt {1-a'^{2}}}=k',\\B{\sqrt {1-b^{2}}}=k,&\qquad B{\sqrt {1-b'^{2}}}=k',\\C{\sqrt {1-c^{2}}}=k,&\qquad C{\sqrt {1-c'^{2}}}=k'\,;\end{array}}$

d’où, par division

${\frac {k}{k'}}={\frac {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-a'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{\sqrt {1-b'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-c^{2}}}{\sqrt {1-c'^{2}}}}.$

Si l’on compare les produits deux à deux des trois premières, puis des trois dernières, avec les équations de droite (25) et (26), on aura

${\begin{array}{ll}bc-a={\sqrt {1-b^{2}}}.{\sqrt {1-c^{2}}}.a',&\qquad b'c'-a'={\sqrt {1-b'^{2}}}.{\sqrt {1-c'^{2}}}.a,\\ca-b={\sqrt {1-c^{2}}}.{\sqrt {1-a^{2}}}.b',&\qquad c'a'-b'={\sqrt {1-c'^{2}}}.{\sqrt {1-a'^{2}}}.b,\\ab-c={\sqrt {1-a^{2}}}.{\sqrt {1-b^{2}}}.c',&\qquad a'b'-c'={\sqrt {1-a'^{2}}}.{\sqrt {1-b'^{2}}}.c.\end{array}}$

Maintenant, les angles que font entre elles les perpendiculaires