Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/350

$\left.{\begin{aligned}&Ax=x'+c'y'+b'z',\\&By=y'+a'z'+c'x',\\&Cz=z'+b'x'+a'y'\,;\end{aligned}}\right\}(23)\qquad \left.{\begin{aligned}&Ax'=x+cy+bz,\\&By'=y+az+cx,\\&Cz'=z+bx+ay.\end{aligned}}\right\}(24)$

Si l’on résout les équations (24) par rapport à $x,y,z,$ en multipliant respectivement les résultats par $A,B,C,$ et posant, poux abréger,

$k^{2}=1-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2abc,$

on trouvera

${\begin{aligned}&Ax={\frac {1}{k^{2}}}\left\{A^{2}\left(1-a^{2}\right)x'+AB(ab-c)y'+CA(ca-b)z'\right\}\\\\&By={\frac {1}{k^{2}}}\left\{B^{2}\left(1-b^{2}\right)y'+BC(bc-a)z'+AB(ab-c)x'\right\}\\\\&Cz={\frac {1}{k^{2}}}\left\{C^{2}\left(1-c^{2}\right)z'+CA(ca-b)x'+BC(bc-a)y'\right\}\end{aligned}}$

comparant ces dernières équations aux équations (23), on aura, à cause de l’identité qui doit évidemment exister entre leurs seconds membres,

$\left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a^{2}\right)=k^{2},&BC(bc-a)=a'k^{2},\\B^{2}\left(1-b^{2}\right)=k^{2},&CA(ca-b)=b'k^{2},\\C^{2}\left(1-c^{2}\right)=k^{2},&AB(ab-c)=c'k^{2}.\end{array}}\right\}\quad (25)$

Il est manifeste que si l’on eût opéré d’abord sur les équations (23) pour comparer ensuite les résultats aux équations (24) ; en posant, pour abréger,

$k^{'2}=1-a^{'2}-b^{'2}-c^{'2}+2a'b'c',$

on aurait eu