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{\begin{aligned}&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p),\\&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p)\,;\end{aligned}}

et conséquemment

x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)

=x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p).

(19)

Nous ferons disparaître deux termes de cette dernière équation, en posant

\operatorname {Cos} .(y,p)=0,\ \operatorname {Cos} .(z,p)=0\,;

alors la droite $p$ sera perpendiculaire au plan des $yz$ . Désignant alors par $(x,yz),(x',yz),$ les angles que fait cette droite avec les axes des $x$ et des $x'$ , et employant des notations analogues pour les autres angles du même genre, l’équation (19) deviendra

x\operatorname {Cos} .(x,yz)=x'\operatorname {Cos} .(x',yz)+y'\operatorname {Cos} .(y',yz)+z'\operatorname {Cos} .(z',yz)\,;

(20)

et, comme on pourrait appliquer le même raisonnement à chacun des autres axes, on aura, pour les formules générales de la transformation des coordonnées,

\left.{\begin{aligned}&x\operatorname {Cos} .(x,yz)=x'\operatorname {Cos} .(x',yz)+y'\operatorname {Cos} .(y',yz)+z'\operatorname {Cos} .(z',yz),\\&y\operatorname {Cos} .(y,zx)=y'\operatorname {Cos} .(y',zx)+z'\operatorname {Cos} .(z',zx)+x'\operatorname {Cos} .(x',zx),\\&z\operatorname {Cos} .(z,xy)=z'\operatorname {Cos} .(z',xy)+x'\operatorname {Cos} .(x',xy)+y'\operatorname {Cos} .(y',xy).\end{aligned}}\right\}(21)

On obtient par les mêmes moyens, les formules réciproques

\left.{\begin{aligned}&x'\operatorname {Cos} .(x',y'z')=x\operatorname {Cos} .(x,y'z')+y\operatorname {Cos} .(y,y'z')+z\operatorname {Cos} .(z,y'z'),\\&y'\operatorname {Cos} .(y',z'x')=y\operatorname {Cos} .(y,z'x')+z\operatorname {Cos} .(z,z'x')+x\operatorname {Cos} .(x,z'x'),\\&z'\operatorname {Cos} .(z',x'y')=z\operatorname {Cos} .(z,x'y')+x\operatorname {Cos} .(x,x'y')+y\operatorname {Cos} .(y,x'y').\end{aligned}}\right\}(22)