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$\operatorname {Sin} .(zx,rz)\operatorname {Sin} .(xy,rx)\operatorname {Sin} .(yz,ry)=\operatorname {Sin} .(yz,rz)\operatorname {Sin} .(zx,rx)\operatorname {Sin} .(xy,ry).$

On peut, dans l’équation (13) faire disparaître, de trois manières, deux des termes du second membre, en y supposant nulles deux des quantités $\operatorname {Cos} .(x,r'),\operatorname {Cos} .(y,r'),\operatorname {Cos} .(z,r')\,;$ la droite $r',$ dabord de direction indéterminée, devient alors perpendiculaire à l’un des plans coordonnés, ce qui donne

$r\operatorname {Cos} .(r,yz)=x\operatorname {Cos} .(x,yz),\ r\operatorname {Cos} .(r,zx)=y\operatorname {Cos} .(y,zx),$

$r\operatorname {Cos} .(r,xy)=z\operatorname {Cos} .(z,xy).$ (18)

En substituant les valeurs de $x,y,z$ qui en résultent dans les équations trouvées ci-dessus, on obtiendra diverses formules indépendantes des longueurs des droites $r,x,y,z$ et relatives seulement à leur direction ; les principales sont

$1={\frac {\operatorname {Cos} .(r,yz)}{\operatorname {Cos} .(x,yz}}\operatorname {Cos} .(r,x)+{\frac {\operatorname {Cos} .(r,zx)}{\operatorname {Cos} .(y,zx}}\operatorname {Cos} .(r,y)+{\frac {\operatorname {Cos} .(r,xy)}{\operatorname {Cos} .(z,xy}}\operatorname {Cos} .(r,z),$

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .(r,x)-{\frac {\operatorname {Cos} .(r,yz)}{\operatorname {Cos} .(x,yz)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,zx)}{\operatorname {Cos} .(y,zx)}}\operatorname {Cos} .(x,y)+{\frac {\operatorname {Cos} .(r,xy)}{\operatorname {Cos} .(z,xy)}}\operatorname {Cos} .(z,x),\\\\&\operatorname {Cos} .(r,y)-{\frac {\operatorname {Cos} .(r,zx)}{\operatorname {Cos} .(y,zx)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,xy)}{\operatorname {Cos} .(z,xy)}}\operatorname {Cos} .(y,z)+{\frac {\operatorname {Cos} .(r,yz)}{\operatorname {Cos} .(x,yz)}}\operatorname {Cos} .(x,y),\\\\&\operatorname {Cos} .(r,z)-{\frac {\operatorname {Cos} .(r,xy)}{\operatorname {Cos} .(z,xy)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,yz)}{\operatorname {Cos} .(x,yz)}}\operatorname {Cos} .(z,x)+{\frac {\operatorname {Cos} .(r,zx)}{\operatorname {Cos} .(y,zx)}}\operatorname {Cos} .(y,z).\end{aligned}}$

$1=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}(r,yz)}{\operatorname {Cos} .^{2}(x,yz)}}+2{\frac {\operatorname {Cos} .(r,zx)\operatorname {Cos} .(r,xy)}{\operatorname {Cos} .(y,zx)\operatorname {Cos} .(z,xy)}}\operatorname {Cos} .(y,z)\\\\&{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}(r,zx)}{\operatorname {Cos} .^{2}(y,zx)}}+2{\frac {\operatorname {Cos} .(r,xy)\operatorname {Cos} .(r,yz)}{\operatorname {Cos} .(z,xy)\operatorname {Cos} .(x,yz)}}\operatorname {Cos} .(z,x)\\\\&{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}(r,xy)}{\operatorname {Cos} .^{2}(z,xy)}}+2{\frac {\operatorname {Cos} .(r,yz)\operatorname {Cos} .(r,zx)}{\operatorname {Cos} .(x,yz)\operatorname {Cos} .(y,zx)}}\operatorname {Cos} .(x,y)\end{aligned}}\right\}$

Soit encore une droite $r',$ menée, dans une direction quel-