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est égal à la somme des quarrés des trois arêtes qui partent de l’une de ses extrémités, augmentée des doubles produits de ces arêtes deux à deux, multipliés par les cosinus des angles que comprennent leurs directions.

En vertu des équations (9), on a

$r^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(r,x)=y^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(x,y)+z^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(x,z)$

$+2xy\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)\,;$

mais en quarrant la seconde des équations (14) on a

${\begin{array}{c}r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(r,x)=x^{2}+y^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)+z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(x,z)+2xy\operatorname {Cos} .(x,y)\\+2xz\operatorname {Sin} .(x,z)+2yz\operatorname {Cos} .(x,z)\operatorname {Cos} .(x,z)\,;\end{array}}$

ajoutant cette équation à la précédente, il viendra

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\operatorname {Sin} .(x,y)+2xz\operatorname {Sin} .(x,z)$

$+2yz\left\{\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)+\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(x,z)\right\}\,;$

en égalant cette valeur de $r^{2}$ à celle qui est donnée par la formule (16), on aura

$\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)=\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(x,z)\,;(17)$

équation que l’on reconnaîtra pour l’équation fondamentale de la trigonométrie sphérique.

En vertu des équations (9), on a

${\begin{aligned}&x\operatorname {Sin} .(z,x)\operatorname {Sin} .(zx,rz)=y\operatorname {Sin} .y,z)\operatorname {Sin} .(yz,rz),\\&y\operatorname {Sin} .(z,y)\operatorname {Sin} .(xy,rx)=z\operatorname {Sin} .z,x)\operatorname {Sin} .(xy,rx),\\&z\operatorname {Sin} .(z,z)\operatorname {Sin} .(yz,ry)=x\operatorname {Sin} .x,y)\operatorname {Sin} .(xy,ry)\,;\end{aligned}}$

donc, en multipliant