Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/344

$1-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)+2\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)$

$=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}(r,x)\operatorname {Sin} .^{2}(y,z)\\&\qquad -2\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Cos} .(r,z)\left[\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(z,x)\right]\\+&\operatorname {Cos} .^{2}(r,y)\operatorname {Sin} .^{2}(z,x)\\&\qquad -2\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(r,x)\left[\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(x,y)\right]\\+&\operatorname {Cos} .^{2}(r,z)\operatorname {Sin} .^{2}(z,y)\\&\qquad -2\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Cos} .(r,y)\left[\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(y,z)\right]\end{aligned}}\right\}.$(15)

Soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles dièdres adjacens à l’une des faces d’un tétraèdre et $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les angles dièdres respectivement opposés. Si, d’un point pris dans l’intérieur du tétraèdre on abaisse des perpendiculaires sur les directions de ses quatre faces, ces perpendiculaires formeront deux à deux six angles qui auront entre eux la relation ci-dessus ; mais ces angles seront les supplémens respectifs des six angles dièdres du tétraèdre, d’où il suit que ces derniers auront entre eux la relation suivante :

$1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '-\operatorname {Cos} .^{2}\beta '-\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+2\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '\operatorname {Cos} .\gamma '$

$=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\alpha '+2\left(\operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Cos} .\beta '\operatorname {Cos} .\gamma '\right)\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\+&\operatorname {Cos} .^{2}\beta \operatorname {Sin} .^{2}\beta '+2\left(\operatorname {Cos} .\beta '+\operatorname {Cos} .\gamma '\operatorname {Cos} .\alpha '\right)\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\+&\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}\gamma '+2\left(\operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '\right)\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}\,;$

et la première des deux questions proposées à la page 396 du XIII.^e volume des Annales, consisterait à déduire de cette équation une relation entre les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '$ eux-mêmes ; mais peut-être parviendrait-on plus aisément au but à l’aide d’un procédé analogue à ceux qui ont été mis en usage dans l’article de la page 271 du tome IX.

Les formules (4) donnent

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .(y,z)+2zx\operatorname {Cos} .(z,x)+2xy\operatorname {Cos} .(x,y)\,;$(16)

c’est-à-dire que : Le quarré de la diagonale d’un parallélipipède