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Soient, dans l’espace, trois axes obliques, donnés de position, et un point quelconque, rapporté à ces axes, par les trois coordonnées $x,y,z.$ Soit $r$ la distance de ce point à l’origine, laquelle est la diagonale d’un parallélipipède obliquangle, ayant $x,y,z$ pour les trois arêtes d’un même angle. Trois arêtes consécutives de ce parallélipipède forment avec cette diagonale $r,$ un quadrilatère gauche, auquel nous pouvons appliquer les formules générales trouvées précédemment. Nous conviendrons seulement de changer la direction de son côté $r,$ c’est-à-dire que nous considérerons la diagonale comme allant de l’origine au point $(x,y,z)\,;$ en conséquence, il faudra, dans toutes nos formules, changer $\operatorname {Cos} .(r,x),\operatorname {Cos} .(r,y),\operatorname {Cos} .(r,z)$ en $-\operatorname {Cos} .(r,x),-\operatorname {Cos} .(r,y),$$-\operatorname {Cos} .(r,z).$

Cela posé, $r'$ étant une droite de direction arbitraire, les équations (2) donnent d’abord,

$r\operatorname {Cos} .(r,r')=x\operatorname {Cos} .(x,r')+y\operatorname {Cos} .(y,r')+z\operatorname {Cos} .(z,r').\quad$(13)

On tire ensuite des équations (3)

$\left.{\begin{aligned}&r=x\operatorname {Cos} .(r,x)+y\operatorname {Cos} .(r,y)+z\operatorname {Cos} .(r,z),\\&r\operatorname {Cos} .(r,x)=x+y\operatorname {Cos} .(x,y)+z\operatorname {Cos} .(x,z),\\&r\operatorname {Cos} .(r,y)=x\operatorname {Cos} .(x,x)+y+z\operatorname {Cos} .(y,z),\\&r\operatorname {Cos} .(r,z)=x\operatorname {Cos} .(x,z)+y\operatorname {Cos} .(y,z)+z.\end{aligned}}\right\}(14)$

Si l’on met, dans la première des équations (14), les valeurs de $x,y,z$ tirées des trois autres, on parviendra à l’équation de relation connue entre les six angles que forment deux à deux dans l’espace quatre droites $r,x,y,z$ de direction arbitraire. Cette équation est