Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/342

$\left.{\begin{aligned}&r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\left[\operatorname {Cos} .\left(p_{3},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},y\right)-\operatorname {Cos} .\left(p_{2},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{3},y\right)\right]\\+&r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\left[\operatorname {Cos} .\left(p_{4},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},y\right)-\operatorname {Cos} .\left(p_{2},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{4},y\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=0.$

Or, les formules (7) donnent

${\begin{aligned}&\left[\operatorname {Cos} .\left(p_{3},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},y\right)-\operatorname {Cos} .\left(p_{2},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{3},y\right)\right]=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {Sin} .\left(p_{2},p_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2}p_{3},z\right),\\&\left[\operatorname {Cos} .\left(p_{4},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},y\right)-\operatorname {Cos} .\left(p_{2},x\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{4},y\right)\right]=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {Sin} .\left(p_{2},p_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2}p_{4},z\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on a d’ailleurs, par la définition même des lignes $p_{2},p_{3},\ldots p_{n},$

$\left(r_{1},z\right)=\left(p_{2}p_{3},z\right)=\left(p_{2}p_{4},z\right)=\ldots$

et, en outre,

$\operatorname {Sin} .\left(p_{2},p_{3}\right)=\operatorname {Sin} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3}\right),\quad \operatorname {Sin} .\left(p_{2},p_{4}\right)=\operatorname {Sin} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{4}\right),\ldots$

au moyen de quoi l’équation ci-dessus deviendra, en divisant par $\operatorname {Cos} .(r_{1},z),$

$r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Sin} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3}\right)+r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Sin} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{4}\right)+\ldots =0.$ (12)

Comme cette dernière équation, et toutes les autres qu’on en pourrait déduire, ne renferment plus rien de relatif aux axes des coordonnées, elles ne sauraient être susceptibles de transformations ultérieures.

§. VI.

Après nous être occupés d’un polygone rectiligne quelconque, occupons-nous, en particulier, du quadrilatère gauche, dont la théorie se lie à celle des coordonnées obliques.