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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\right)^{3}=$

$a^{3}\left\{{\begin{aligned}&\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\right)^{2}\\+&\left(\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)^{2}\\+&\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}\right)^{2}\end{aligned}}\right\}\,;$

or, le multiplicateur de $a^{3}$ dans le second membre (§. III) n’est autre chose que $\operatorname {Sin} .^{2}(r_{1},r_{2}),$ d’où il suit qu’on aura, en extrayant la racine quarrée,

$\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}=\pm a\operatorname {Sin} .(r_{1},r_{2})$

$=\pm \operatorname {Sin} .(r_{1},r_{2})\operatorname {Cos} .(r_{1}r_{2},x).$

Les signes $+$ et $-$ étant ici arbitraires, nous ferons choix du signe $+,$ et nous aurons, en formant les équations analogues,

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}=\operatorname {Sin} .(r_{1},r_{2})\operatorname {Cos} .(r_{1}r_{2},x),\\+&\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}=\operatorname {Sin} .(r_{1},r_{2})\operatorname {Cos} .(r_{1}r_{2},y),\\+&\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}=\operatorname {Sin} .(r_{1},r_{2})\operatorname {Cos} .(r_{1}r_{2},z).\end{aligned}}\right\}(7)$

Substituant ces valeurs et les autres que nous obtiendrions de même forme, par un semblable calcul, dans les équations (6), elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},x\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},x\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},y\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},y\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},z\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},z\right)+\ldots =0.\end{aligned}}\right\}(8)$

Ces équations (8) étant de même forme que les équations (2), nous pourrons opérer sur elles de la même manière. Pour pouvoir noter les résultats de ces opérations, nous représenterons simplement par $(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3})$ l’angle que forment entre elles les perpendiculaires aux plans des deux angles $\left(r_{1},r_{2}\right),\ \left(r_{1},r_{3}\right),$ et ainsi de suite pour les autres. Ces angles sont la mesure des angles dièdres formés par les plans de ces mêmes angles, et qui peuvent