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$\int _{-a'}^{+b}y\operatorname {d} x=c\left\{0^{\frac {n-m}{n}}-(-a')^{\frac {n-m}{n}}\right\}+c\left\{b^{\frac {n-m}{n}}-0^{\frac {n-m}{n}}\right\}$

$=c\left(b^{\frac {n-m}{n}}+a'^{\frac {n-m}{n}}\right)\,;$

d’où l’on voit (et c’est sur quoi nous désirons principalement fixer l’attention) qu’on aurait pu obtenir directement ce résultat par une seule intégration, prise depuis $x=-a'$ jusqu’à $x=+b,$ sans avoir égard au passage de $y$ par l’infini ; ce qui tient à la circonstance déjà indiquée que l’origine naturelle de l’intégrale se trouve au point zéro, quel que soit le signe de l’abscisse $x\,;$ les deux termes de cette intégrale représentant alors respectivement les espaces $\mathrm {YOQB}$ et $\mathrm {YOP'A'.}$

Lorsqu’au contraire on a $n<m$ et par suite ${\frac {np^{m}}{n-m}}=-c,$ l’origine naturelle de l’intégrale ne se trouve plus à l’origine des coordonnées ; elle est située sur l’axe des $x,$ à l’infini négatif pour les abscisses négatives et à l’infini positif pour les abscisses positives, comme il est facile de le voir, en cherchant les conditions nécessaires pour que la constante soit nulle. Il résulte de là que l’intégrale

$\int _{+a}^{+b}y\operatorname {d} x=-c\left(b^{\frac {n-m}{n}}-a^{\frac {n-m}{n}}\right)=c\left(a^{\frac {n-m}{n}}-b^{\frac {n-m}{n}}\right)$

représente la différence des espaces $\mathrm {APX}$ et $\mathrm {BQX,}$ et que l’intégrale

$\int _{-a'}^{-b'}y\operatorname {d} x=-c\left\{(-b')^{\frac {n-m}{n}}-(-a')^{\frac {n-m}{n}}\right\}=c\left(b'^{\frac {n-m}{n}}-a'^{\frac {n-m}{n}}\right)$

représente la différence des espaces $\mathrm {B'Q'X'}$ et $\mathrm {A'P'X'} .$ Il n’est donc plus possible alors d’obtenir l’intégrale $\int _{-a'}^{+b}$ par une seule intégra-