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Afin dévaluer la quantité $\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}$ et ses analogues, soient menées, par un point quelconque de l’espace, des parallèles aux côtés $r_{1},,r_{2},r_{3},\ldots r_{n}$ du polygone ; la première fera, avec toutes les autres, des angles $\left(r_{1},r_{2}\right),\ \left(r_{1},r_{3}\right),\ldots \left(r_{1},r_{n}\right).$ Soient élevées, par le même point, aux plans de ces divers angles, des perpendiculaires que nous désignerons respectivement par $r_{1}r_{2},r_{1},r_{3},\ldots r_{1},r_{n}\,;$ en représentant les angles que forment ces perpendiculaires avec les axes des coordonnées par

${\begin{array}{lll}\left(r_{1}r_{2},x\right),&\left(r_{1}r_{2},y\right),&\left(r_{1}r_{2},z\right),\\\left(r_{1}r_{3},x\right),&\left(r_{1}r_{3},y\right),&\left(r_{1}r_{3},z\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\left(r_{1}r_{n},x\right),&\left(r_{1}r_{n},y\right),&\left(r_{1}r_{n},z\right).\end{array}}$

Cela posé, soient, pour un moment, $a,b,c$ les cosinus des angles $\left(r_{1}r_{2},x\right),\left(r_{1}r_{2},y\right),\left(r_{1}r_{2},z\right)$ que fait avec les axes la perpendiculaire $r_{1}r_{2}$ au plan de l’angle $(r_{1}r_{2}),$ construite comme il vient d’être dit. Comme elle est perpendiculaire, à la fois aux directions des deux droites $r_{1},r_{2},$ on aura, par les conditions connues de perpendicularité,

${\begin{aligned}&a\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+b\operatorname {Cos} .\beta _{1}+c\operatorname {Cos} .\gamma _{1}=0,\\&a\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+b\operatorname {Cos} .\beta _{2}+c\operatorname {Cos} .\gamma _{2}=0\,;\end{aligned}}$

d’où on tire

$b=a.{\frac {\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}}{\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}}},$

$c=a.{\frac {\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}}{\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation de condition

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$

on trouvera