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$Y'_{2}={\frac {Y_{1}^{2}}{4}}+{\frac {n-2}{4}}Y_{2},\qquad Z'_{2}={\frac {Z_{1}^{2}}{4}}+{\frac {n-2}{4}}Z_{2},$

et par suite

$X'_{2}+Y'_{2}+Z'_{2}={\frac {X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}}{4}}+{\frac {n-2}{4}}\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right).$

Nous avons trouvé tout à l’heure pour la somme des quarrés des droites qui joignent deux à deux les milieux tant des côtés que des diagonales

$n'\left(X'_{2}+Y'_{2}+Z'_{2}\right)-\left(X_{1}^{'2}+Y_{1}^{'2}+Z_{1}^{'2}\right)\,;$

mais nous venons de trouver

${\begin{aligned}X'_{2}+\ Y'_{2}+\ Z'_{2}&={\frac {1}{4}}\left\{(n-2)\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right)+\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right)\right\},\\X_{1}^{'2}+Y_{1}^{'2}+Z_{1}^{'2}&={\frac {1}{4}}(n-1)^{2}\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right),\end{aligned}}$

nous avons d’ailleurs $n'={\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\,;$ en substituant donc, nous, trouverons pour cette somme de quarrés

${\frac {1}{4}}.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}\left\{n\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right)-\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right)\right\}\,;$

mais nous avons trouvé ci-dessus, pour la somme des quarrés tant des côtés que des diagonales,

$n\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right)-\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right)\,;$

donc, en désignant par $S_{1}$ cette dernière somme et par $S_{2}$ l’autre, nous aurons