Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/334

${\begin{aligned}X'_{1}&={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{2}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}+\ldots +{\frac {x_{n-1}+x_{n}}{2}}\\\\&+{\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}+{\frac {x_{2}+x_{4}}{2}}+\ldots +{\frac {x_{n-2}+x_{n}}{2}}\\\\&+{\frac {x_{1}+x_{4}}{2}}+\ldots +{\frac {x_{3}+x_{n}}{2}}\\&+\ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x_{1}+x_{n}}{2}}.\end{aligned}}$

Ces termes sont au nombre de ${\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}$ et, comme il entre deux de nos $n$ sortes de lettres dans chacun, il s’ensuit qu’ils se composent de $n(n-1)$ lettres ; et comme il est d’ailleurs manifeste que chacune des $n$ sortes de lettres y figure de la même manière, il s’ensuit que chaque sorte de lettre y figure $n-1$ fois ; de sorte qu’on doit avoir

$X'_{1}={\frac {(n-1)\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}\right)}{2}}={\frac {n-1}{2}}.X_{1}\,;$

et par conséquent

$X_{1}^{'2}={\frac {(n-1)^{2}}{4}}.X_{1}^{2}.$

On aura semblablement

$Y_{1}^{'2}={\frac {(n-1)^{2}}{4}}.Y_{1}^{2},\qquad Z_{1}^{'2}={\frac {(n-1)^{2}}{4}}.Z_{1}^{2}\,;$

et, par suite,