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$n\left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}+z_{p}^{2}\right)-2\left(X_{1}x_{p}+Y_{1}y_{p}+Z_{1}z_{p}\right)+\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right).$

Si présentement on veut avoir la somme des quarrés de toutes les droites, soit côtés, soit diagonales, qui joignent les sommets deux a deux, lesquelles sont au nombre de ${\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}$ il ne s’agira que de prendre la demi-somme des résultats qu’on déduit de cette dernière formule en y mettant successivement pour $p$ tous les nombres naturels de $1$ à $n$ inclusivement. Nous disons la demi-somme, parce que menant, tour à tour, des droites de chaque sommet à tous les autres, chaque droite se trouve menée deux fois. On aura ainsi, pour la somme des quarrés de toutes ces droites,

$n\left(X_{2}+Y_{2}+Z_{2}\right)-\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right).$

Cherchons ensuite la somme des quarrés des longueurs des droites qui joignent deux à deux les milieux tant des côtés que des diagonales. Nous venons déjà de remarquer que le nombre tant des côtés que des diagonales était ${\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}$ et leurs milieux sont en même nombre. Si donc on représente respectivement par $X'_{1},Y'_{1},Z'_{1}$ les sommes des premières puissances des coordonnées de ces milieux parallèles à chaque axe, et par $X'_{2},Y'_{2},Z'_{2}$ les sommes des quarrés de ces mêmes coordonnées ; en posant ${\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}=n',$ on aura, pour la somme des quarrés des droites dont il s’agit, d’après la précédente formule,

$n'\left(X'_{2}+Y'_{2}+Z'_{2}\right)-\left(^{2}_{1}+_{1}^{2}+_{1}^{2}\right).$

Cela posé, 1.^o comme la coordonnée parallèle aux $x$ du milieu de la droite qui joint deux sommets quelconques est ${\frac {x_{p}+x_{q}}{2}},$ nous aurons