Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/330

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}=\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{2}),\\\\&\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{3}+\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{3}+\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{3}=\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

il viendra

$\left.{\begin{aligned}&r_{1}+r_{2}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{2})+r_{3}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{3})+\ldots +r_{n}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{n})=0,\\\\&r_{1}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{2})+r_{2}+r_{3}\operatorname {Cos} .(r_{2},r_{3})+\ldots +r_{n}\operatorname {Cos} .(r_{2},r_{n})=0,\\\\&r_{1}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{3})+r_{2}\operatorname {Cos} .(r_{2},r_{3})+r_{3}+\ldots +r_{n}\operatorname {Cos} .(r_{3},r_{n})=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&r_{1}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{n})+r_{2}\operatorname {Cos} .(r_{2},r_{n})+r_{3}\operatorname {Cos} .(r_{3},r_{n})+\ldots +r_{n}=0.\end{aligned}}\right\}(3)$

On parviendrait également à ces équations, en supposant successivement, dans les équations (2), que chacune des droites $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{n}$ devient, à son tour, parallèle à l’axe des $x.$ Elles se traduisent dans l’énoncé que voici : Dans tout polygone rectiligne fermé, plan ou gauche, chaque côté est égal à la somme des produits de tous les autres par les cosinus des angles que forment leurs directions avec la sienne.

Si l’on prend la somme des quarrés des équations (2), il vient, en faisant les réductions convenables,

$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+\ldots +r_{n}^{2}+2r_{1}r_{2}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{2})+2r_{1}r_{3}\operatorname {Cos} .(r_{1},r_{3})$

$+2r_{2}r_{3}\operatorname {Cos} .(r_{2},r_{3})+\ldots =0$ (4)

c’est-à-dire, La somme des quarrés» des côtés d’un polygone rectiligne quelconque, plan ou gauche, augmentée des doubles produits de ces côtés deux à deux, multipliés par les cosinus des angles que forment entre elles leurs directions, est égale à zéro.

Si l’on prend de nouveau la somme des quarrés des équations