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$u=\int _{a}^{b}y\operatorname {d} x=\pm c\left(b^{\frac {n-m}{n}}-a^{\frac {n-m}{n}}\right),$

en posant, pour abréger, ${\frac {np^{m}}{n-m}}=\pm c,$ suivant que $n$ est $>$ ou $<m.$

Présentement, il importe de distinguer deux cas, savoir ; celui de $m<n$ et celui de $n<m.$

Si l’on a $m<n,$ on a aussi ${\frac {np^{m}}{n-m}}=+c.$ L’origine naturelle de l’intégrale est l’origine même des coordonnées, quel que soit le signe de $x,$ c’est-à-dire que, dans l’intégrale indéfinie

$\int y\operatorname {d} x=cx^{\frac {n-m}{n}}+\mathrm {Const} .,$

en faisant la constante nulle, le terme $+cx^{\frac {n-m}{n}}$ représentera l’espace compris entre l’axe des $y,$ correspondant à $x=0,$ et l’ordonnée correspondant à l’abscisse quelconque $\pm x,$ et que de plus ce terme se présentera avec le signe $+$ ou avec le signe $-,$ suivant que $x$ sera positif ou négatif, comme il est facile de le vérifier, en prenant les intégrales $\int _{-x}^{0}$ et $\int _{0}^{+x}.$ Il en résulte que, si l’on prend l’intégrale entre deux limites positives $x=+a$ et $x=+b,$ ou entre deux limites négatives $x=-a',\ y=-b',$ cette intégrale représentera toujours la différence entre les espaces $\mathrm {YOQB}$ et $\mathrm {YOPA}$ ou entre les espaces $\mathrm {YOP'A'}$ et $\mathrm {YOQ'B'} .$ Si l’on voulait avoir l’aire comprise entre une limite négative $x=-a'$ et une limite positive $x=+b',$ il faudrait, d’après la règle connue, à raison de la valeur $y=\infty$ correspondant à $x=0,$ faire deux intégrations, pour obtenir séparément $\int _{-a'}^{0}$ et $\int _{0}^{+b},$ et ajouter ensemble les résultats. On obtiendrait ainsi