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$r_{3}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)\,;$

comparant cette dernière avec celle de laquelle elle est dérivée, on obtient la formule bien connue

$\operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)=\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2},$

de laquelle on déduit ensuite aisément

$\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left\{{\begin{aligned}&\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}\right)^{2}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\right)^{2}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)^{2}\end{aligned}}\right\}.$

L’équation

$r_{3}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)$

exprime aussi une proposition fondamentale de la trigonométrie rectiligne ; mais nous verrons bientôt qu’elle n’est qu’un cas particulier d’une proposition plus générale.

Retournons présentement aux équations (2). En prenant la somme de leurs produits respectifs, d’abord par $\operatorname {Cos} .\alpha _{1},\operatorname {Cos} .\beta _{1},\operatorname {Cos} .\gamma _{1},$ puis par $\operatorname {Cos} .\alpha _{2},$$\operatorname {Cos} .\beta _{2},\operatorname {Cos} .\gamma _{2},$ et ainsi de suite, et enfin par $\operatorname {Cos} .\alpha _{n},\operatorname {Cos} .\beta _{n},\operatorname {Cos} .\gamma _{n},$ observant que

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{1}=1,\\\\&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{2}=1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et que