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sont parallèles ; leur centre commun de gravité coïncidera avec le centre de la sphère.

§. III.

Si le polygone proposé se réduit à un triangle, les équations (2) se réduisent aux suivantes :

${\begin{aligned}&r_{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+r_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+r_{3}\operatorname {Cos} .\alpha _{3}=0,\\&r_{1}\operatorname {Cos} .\beta _{1}\,+r_{2}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\,+r_{3}\operatorname {Cos} .\beta _{3}=0,\\&r_{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\,+r_{2}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\,+r_{3}\operatorname {Cos} .\gamma _{3}=0.\end{aligned}}$

Transposant les derniers termes dans les seconds membres, prenant ensuite la somme des quarrés des équations résultantes, en se rappelant les relations connues

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{1}=1,\\\\&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{2}=1,\\\\&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{3}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{3}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{3}=1,\end{aligned}}$

on obtient

$r_{3}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right).$

Mais, en supposant, pour un moment, que la droite $r_{1}$ est parallèle à l’axe des $x,$ l’angle $\alpha _{1}$ sera nul, et les angles $\beta _{1}$ et $\gamma _{1}$ seront droits, de sorte qu’on aura

$\operatorname {Cos} .\alpha _{1}=1,\qquad \operatorname {Cos} .\beta _{1}=0,\qquad \operatorname {Cos} .\gamma _{1}=0.$

Quant à l’angle $\alpha _{2},$ ce sera alors l’angle $(r_{1},r_{2})$ lui-même ; de sorte que l’on aura