Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/326

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il en faut conclure que, Lorsque des forces agissent dans des directions quelconques sur un même point de l’espace, 1.^o le centre des moyennes distances des extrémités des droites qui représentent ces forces en intensité et en direction est un point de la direction de leur résultante ; 2.^o cette résultante est représentée en intensité par autant de fois la distance de ce centre au point d’application des forces qu’il y a de composantes dans le système^[1].

Maintenant, par les mêmes points $(a_{1},b_{1},c_{1}),\ (a_{2},b_{2},c_{2}),\ldots$ $(a_{n},b_{n},c_{n}),$ menons encore des droites respectivement parallèles aux côtés du polygone, mais d’une même longueur quelconque $k$ ; en désignant leurs extrémités respectives par $(a''_{1},b''_{1},c''_{1}),\ (a''_{2},b''_{2},c''_{2}),\ldots (a''_{n},b''_{n},c''_{n}),$ nous aurons

{\begin{aligned}&a''_{1}=a_{1}+k\operatorname {Cos} .\alpha _{1},\ b''_{1}=b_{1}+k\operatorname {Cos} .\beta _{1},\ c''_{1}=c_{1}+k\operatorname {Cos} .\gamma _{1},\\\\&a''_{2}=a_{2}+k\operatorname {Cos} .\alpha _{2},\ b''_{2}=b_{2}+k\operatorname {Cos} .\beta _{2},\ c''_{2}=c_{2}+k\operatorname {Cos} .\gamma _{2},\\\\&a''_{3}=a_{3}+k\operatorname {Cos} .\alpha _{3},\ b''_{3}=b_{3}+k\operatorname {Cos} .\beta _{3},\ c''_{3}=c_{3}+k\operatorname {Cos} .\gamma _{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&a''_{n}=a_{n}+k\operatorname {Cos} .\alpha _{n},\ b''_{n}=b_{n}+k\operatorname {Cos} .\beta _{n},\ c''_{n}=c_{n}+k\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\,;\end{aligned}}

Prenant successivement la somme des produits respectifs des équations de chaque colonne par $r_{1},r_{2},\ldots r_{n},$ en ayant égard aux équations (2), il viendra

↑ C’est le théorème énoncé à la page 372 du présent volume. M. Gerono remarque qu’il en résulte que, si plusieurs systèmes de forces, concourant en divers points de l’espace, sont composés de forces représentées en intensité et en direction par les distances de ces points à un certain nombre de points fixes, les résultantes de ces systèmes se croiseront toutes au centre des moyennes distances de ces derniers points.
Si l’on suppose ensuite que ces points de concours des composantes sont infiniment éloignés, on retombe sur le théorème relatif au centre des forces parallèles, du moins pour le cas où ces forces sont égales.

J. D. G.

[1] C’est le théorème énoncé à la page 372 du présent volume. M. Gerono remarque qu’il en résulte que, si plusieurs systèmes de forces, concourant en divers points de l’espace, sont composés de forces représentées en intensité et en direction par les distances de ces points à un certain nombre de points fixes, les résultantes de ces systèmes se croiseront toutes au centre des moyennes distances de ces derniers points.
Si l’on suppose ensuite que ces points de concours des composantes sont infiniment éloignés, on retombe sur le théorème relatif au centre des forces parallèles, du moins pour le cas où ces forces sont égales.

J. D. G.

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