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§. I.

Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de $n$ côtés, dont nous nommerons les côtés consécutifs $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{n}.$ Concevons un système d’axes rectangulaires auquel ce polygone soit rapporté, et soient $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,;\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2}\,;\alpha _{3},\beta _{3},\gamma _{3}\,;\ldots$$\alpha _{n},\beta _{n},\gamma _{n}$ les angles que forment respectivement ces côtés avec les axes des coordonnées. Soient enfin $(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2}),\ (x_{3},y_{3},z_{3}),\ldots$$(x_{n},y_{n},z_{n}),$ les sommets des angles $(r_{n},r_{1}),\ (r_{1},r_{2}),\ (r_{2},r_{3}),\ldots$$(r_{n-1},r_{n}).$

Par les principes connus, nous aurons cette suite d’équations

$\left.{\begin{aligned}&x_{2}=x_{1}+r_{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{1},\ y_{2}=y_{1}+r_{1}\operatorname {Cos} .\beta _{1},\ z_{2}=z_{1}+r_{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{1},\\\\&x_{3}=x_{2}+r_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{2},\ y_{2}=y_{2}+r_{2}\operatorname {Cos} .\beta _{2},\ z_{2}=z_{2}+r_{2}\operatorname {Cos} .\gamma _{2},\\\\&x_{4}=x_{3}+r_{3}\operatorname {Cos} .\alpha _{3},\ y_{2}=y_{3}+r_{3}\operatorname {Cos} .\beta _{3},\ z_{2}=z_{3}+r_{3}\operatorname {Cos} .\gamma _{3},\\\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&x_{1}=x_{n}+r_{n}\operatorname {Cos} .\alpha _{n},\ y_{1}=y_{n}+r_{n}\operatorname {Cos} .\beta _{n},\ z_{1}=z_{n}+r_{n}\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\,;\end{aligned}}\right\}(1)$

En prenant successivement les sommes d’équations de chacune des colonnes, on aura, sur-le-champ, par l’effet des réductions, les trois équations suivantes :

$\left.{\begin{aligned}&r_{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+r_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+r_{3}\operatorname {Cos} .\alpha _{3}+\ldots +r_{n}\operatorname {Cos} .\alpha _{n}=0,\\&r_{1}\operatorname {Cos} .\beta _{1}\,+r_{2}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+r_{3}\operatorname {Cos} .\beta _{3}+\ldots \,+r_{n}\operatorname {Cos} .\beta _{n}=0,\\&r_{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\,+r_{2}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\,+r_{3}\operatorname {Cos} .\gamma _{3}\,+\ldots \,+r_{n}\operatorname {Cos} .\gamma _{n}=0\,;\end{aligned}}\right\}(2)$

dont chacune exprime ce théorème connu : Dans tout polygone rectiligne fermé, plan ou gauche, la somme des produits respectifs des côtés par les cosinus tabulaires des angles que forment leurs