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deux sortes de fonctions, donne naissance à une formule de géométrie plane qu’on en déduit en substituant simplement les arcs à leurs sinus et tangentes et les considérant ensuite comme des lignes droites ; ce qui revient évidemment à supposer que le rayon de la sphère devient infini. Avec cette attention, on déduira des diverses formules auxquelles nous sommes parvenus les formules suivantes, en regard de chacune desquelles nous avons placé le numéro de la formule de trigonométrie sphérique de laquelle elle est déduite.

${\frac {\operatorname {Sin} .A}{a}}={\frac {\operatorname {Sin} .B}{b}}={\frac {\operatorname {Sin} .C}{c}},\qquad$(ii, II)

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}},$(v)$\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}},$(vi)

$p^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),\qquad$(vii)

$\operatorname {Sin} .A={\frac {2p}{bc}},\qquad$(viii)

${\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}={\frac {b-c}{a}},$(ix, IX)$\qquad {\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}}={\frac {b+c}{a}},(XI)$

$\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(B-C)={\frac {b-c}{b+c}}\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A,\qquad$(xii)

${\frac {s}{a}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}},$(xiii)$\qquad {\frac {s-a}{a}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}},$(xiv)

$s^{2}=p\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}C,\qquad$(xxii)

$(s-a)^{2}=p\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}C,\qquad$(xxiii)