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derniers ont aussi leurs sommets opposés à $a$ sur la circonférence de ce même cercle.

Ainsi, le lieu des sommets de tous les triangles sphériques de même base et de même somme d’angles est la circonférence d’un petit cercle de la sphère. C’est le théorème de Lexell (Nova acta Petropolitana, tom. V, pag. 1) qu’a démontré M. Legendre, dans la X.^e note de ses Élemens de Géométrie.

Cherchons enfin quelle est, sur la surface de la sphère, la courbe enveloppe des bases de tous les triangles sphériques qui ont l’angle au sommet commun et même périmètre. Dans cette hypothèse, on doit avoir $\operatorname {Cos} .s=$Constante ; c’est-à-dire (xiii)

${\frac {\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}=$Constante ;

ou, plus simplement,

$\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C=$Constante ;

d’où encore

${\frac {\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}}=$Constante ;

Or, cette dernière expression est évidemment (XLIV) celle du rayon sphérique du cercle inscrit au triangle dont un des angles serait l’opposé au sommet de l’angle $A,$ et les deux côtés qui le comprendraient les supplémens respectifs des côtés $b$ et $c\,;$ donc, si avec un même angle du sommet $A$ on construit une suite de triangles sphériques de même périmètre, et qu’ensuite, pour chacun d’eux, on construise le triangle secondaire dont il vient d’être question, les cercles circonscrits aux triangles secondaires seront tous égaux ; ils auront donc aussi le même pôle, puisqu’ils toucheront tous les deux mêmes arcs de cercles $b$ et $c\,;$ c’est-à-dire qu’ils se confondront tous en un seul, auquel tous ces triangles