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${\frac {\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a}}=$ Constante ;

ou, plus simplement,

$\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c=$ Constante ;

d’où encore

${\frac {\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a}}=$ Constante.

Or, cette dernière expression est évidemment (xliv) celle du rayon sphérique du cercle circonscrit au triangle dont un des côtés serait le côté $a,$ et les deux angles adjacens les supplémens respectifs des angles $B$ et $C\,;$ donc, si sur une même base $a$ on construit une suite de triangles sphériques dont la somme des angles soit constante^[1], et qu’ensuite on construise pour chacun d’eux, le triangle secondaire dont il vient d’être question, les cercles circonscrits aux triangles secondaires seront tous égaux ; ils auront donc aussi le même pôle, puisqu’ils passeront par les deux mêmes sommets $B$ et $C,$ c’est-à-dire qu’ils se confondront en un seul auquel tous ces triangles seront inscrits. Mais, si l’on considère les triangles formés en prolongeant les côtés $b$ et $c$ au-delà du sommet $A$ des quantités respectives $\varpi -b,\ \varpi -c,$ ils seront respectivement égaux et opposés à ceux-là, et seront conséquemment comme eux inscrits à un même cercle, dont le pôle sera ; l’autre extrémité du diamètre de la sphère conduit par le pôle du premier ; puis donc que ces nouveaux triangles ont tous leur commet $A$ commun avec les triangles construits sur la base commune $a$ de manière que la somme de leurs angles soit constante, il s’ensuit que ces

1. Et qui auront conséquemment même surface.