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$\operatorname {Cot} .R'=-\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .S,\qquad \operatorname {Cot} .R''=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .(S-C),$

$\operatorname {Cot} .R'''=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .(S-B)\,;$

multipliant ces, équations entre elles et par l’équation (xliii) en ayant égard à la formule (VII), il viendra

$\operatorname {Cot} .R\operatorname {Cot} .R'\operatorname {Cot} .R''\operatorname {Cot} .R'''=P^{2}.\qquad$(XLVII)

Si l’on prolonge les côtés du triangle sphérique deux à deux jusqu’à ce qu’ils se rencontrent de nouveau, on formera trois nouveaux triangles sphériques tels que chacun aura un côté commun avec le triangle proposé, compris entre deux angles qui seront les supplémens de leurs correspondans dans le même triangle^[1]. En supposant donc qu’on ait inscrit des cercles aux trois triangles ainsi formés, et qu’on désigne par $r',r'',r''''$ les rayons sphériques de ces cercles, on aura (XLIII) et (XLVI)

$\operatorname {Tang} .r'=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .s,\qquad \operatorname {Tang} .r''=\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .(s-c),$

$\operatorname {Tang} .r'''=\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .(s-b)\,;$

multipliant ces équations entre elles et par l’équation (XLIII), en ayant égard à la formule (vii), il viendra

$\operatorname {Tang} .r\operatorname {Tang} .r'\operatorname {Tang} .r''\operatorname {Tang} .r'''=p^{2}.\qquad$(xlvii)

Cherchons quel est, sur la sphère, le lieu des sommets $A$ des triangles sphériques qui ont tous la base commune $a$ et dans lesquels en outre la somme des angles est constante. Dans cette hypothèse on doit avoir $\operatorname {Cos} .S$=$\mathrm {Constante} \,;$ (43) c’est-à-dire (XIII),

1. Ces trois derniers sont ce que Viète appelle les Anapléroses du triangle proposé ; ils sont respectivement opposés, sur la sphère, aux trois dont il a été question ci-dessus.