Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/310

$\operatorname {Tang} .r={\frac {P}{2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}}.\qquad$(XLV)

Voilà donc le rayon sphérique du cercle inscrit exprimé par une fonction des trois angles à laquelle le calcul par logarithmes est facilement applicable.

Si l’on veut avoir le même rayon en fonction des trois côtés, il ne s’agira que de mettre pour le dénominateur sa valeur donnée par la formule (xx), il viendra ainsi

$\operatorname {Tang} .r={\frac {p}{\operatorname {Sin} .s}}.\qquad$(XLVI)

Au moyen des formules auxquelles nous venons de parvenir, on obtiendrait facilement les rayons sphériques des cercles inscrit et circonscrit, en fonction de trois quelconques des six parties du triangle.

Nous ne devons pas quitter ce sujet sans rappeler qu’il a été démontré (tome XIV, page 61) qu’en désignant par $\delta$ la distance des pôles, on a

$\operatorname {Sin} .^{2}\delta ={\frac {\operatorname {Sin} .(R+r)+\operatorname {Sin} .(R-r)}{2}}.{\frac {3\operatorname {Sin} .(R+r)-\operatorname {Sin} .(R-r)}{2}}.$(43)

Si l’on prolonge les côtés du triangle sphérique deux à deux au-delà de leur point de concours, jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la circonférence dont le troisième côté fait partie, on formera trois nouveaux triangles sphériques tels que chacun aura un angle égal, comme opposé au sommet, à l’un des angles du triangle proposé, compris entre deux côtés qui seront les supplémens des deux côtés correspondans de celui-là. En supposant donc qu’on ait circonscrit des cercles aux trois triangles ainsi formés, et qu’on désigne par $R',R'',R'''$ les rayons sphériques de ces cercles, on aura (xliii) et (xlvi)