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exactement dans le même cas, comme nous l’avons déjà observé (8).

Les séries logarithmiques semblent conduire aux mêmes conséquences. Soit un nombre positif $z,$ arbitrairement partagé en deux autres $x$ et $y,$ nous aurons

$\operatorname {l} z=\operatorname {l} (x+y)=\operatorname {l} x+\operatorname {l} \left(1+{\frac {y}{x}}\right)=\operatorname {l} x+{\frac {1}{1}}{\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {y^{4}}{x^{4}}}+\ldots$

Si ensuite nous changeons le signe de $z,$ nous aurons

$\operatorname {l} (-z)=\operatorname {l} (-x-y)=\operatorname {l} (-x)+\operatorname {l} \left(1+{\frac {y}{x}}\right)$

$=\operatorname {l} (-x)+{\frac {1}{1}}{\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {y^{4}}{x^{4}}}+\ldots$

On voit que les deux développemens ne différent uniquement que par les termes $\operatorname {l} x$ et $\operatorname {l} (-x).$ Or, on peut toujours prendre les deux nombres $x$ et $y$ de telle sorte que la série soit convergente et qu’en même temps $x$ soit tel que $\operatorname {l} (-x)$ soit réel ; et alors on aura nécessairement $\operatorname {l} (-z)=\operatorname {l} z,$ quel que soit $z.$

18. Quant aux considérations tirées des aires de l’hyperbole équilatère, considérations que Jean Bernouilli croyait propre à démontrer l’existence des logarithmes réels pour les nombres négatifs ; il ne nous paraît pas que l’on puisse en tirer aucune conséquence fondée pour ou contre l’opinion que cet illustre géomètre cherchait à faire prévaloir.

Pour en faire sentir la raison, nous observerons d’abord que les variables doivent être considérées comme croissant constamment de l’infini négatif à l’infini positif, c’est-à-dire que les différentielles doivent être réputées positives, quels que soient les signes des variables elles-mêmes. Le principe contraire admis par un grand