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Soient présentement $o$ le pôle et $r$ le rayon sphérique du cercle inscrit, on sait que si de ce point on conduit des arcs de grands cercles aux trois sommets, ces arcs diviseront les angles du triangle en deux parties égales. Si en outre on désigne par $A'',B'',C''$ les points de contacts respectifs avec les côtés, on aura

$A''B+A''C=a,\qquad B''C+B''A=b,\qquad C''A+C''B=c,$

d’où, en retranchant la première équation de la somme des deux autres,

$AB''+AC''+BC''-BA''+CB''-CA''=b+c-a\,;$

mais on a ici

$AB''=AC'',\qquad BC''=BA'',\qquad CB''=CA''\,;$

réduisant donc, à l’aide de ces relations, il viendra

$2AB''=2AC''=b+c-a=2(s-a)\,;$

d’où

$AB''=s-a\,;$

mais le triangle sphérique rectangle $oB''A$ donne

$\operatorname {Tang} .oB''=\operatorname {Sin} .AB''\operatorname {Tang} .oAB''\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Tang} .r=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .(s-a)\,;\qquad$(XLIII)

ou bien (xiv)

$\operatorname {Tang} .r={\frac {\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}\,;\qquad$(XLIV)

ou encore (VIII)