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$2\operatorname {Ang} .OBC=2\operatorname {Ang} .OCB=B+C-A=2(S-A),$

d’où

$\operatorname {Ang} .OBC=\operatorname {Ang} .OCB=S-A\,;$

or, dans le triangle sphérique rectangle $OA'B,$ on a

$\operatorname {Tang} .OBC\operatorname {Cos} .OBC=\operatorname {Tang} .BA',$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Tang} .R\operatorname {Cos} .(S-A)=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}a\,;$

donc

$\operatorname {Cot} .R=\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .(S-A)\,;\qquad$(xliii)

c’est-à-dire (XIV),

$\operatorname {Cot} .R={\frac {\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}}}\,;\qquad$(xliv)

ou encore (viii),

$\operatorname {Cot} .R={\frac {p}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}.\qquad$(xlv)

voilà donc le rayon sphérique du cercle circonscrit exprimé par une fonction des trois côtés à laquelle le calcul par logarithmes est facilement applicable.

Si l’on veut avoir le même rayon en fonction des trois angles, il ne s’agira que de mettre pour le dénominateur sa valeur donnée par la formule (XX), il viendra ainsi

$\operatorname {Cot} .R=-{\frac {P}{\operatorname {Cos} .S}}.\qquad$(xlvi)