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$\operatorname {Cos} .d={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b+c)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b-c)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a}}.$^[1]$\qquad$(xl)

L’arc $d$ étant déterminé par cette formule, on trouvera ensuite (ii, II), (viii)

$\operatorname {Sin} .(d,a)={\frac {\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .d}},\qquad$(xli)

$\operatorname {Sin} .(d,b)={\frac {p}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .d}},\ \operatorname {Sin} .(d,c)={\frac {p}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .d}}.$(xlii)

Soit $D$ l’angle que fait avec le côté $a$ l’arc de grand cercle $a'$ qui divise l’angle $A$ en deux parties égales ; il divisera notre triangle en deux autres dans lesquels on aura (I)

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .D\operatorname {Cos} .a'=\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .D,\\\\&\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .D\operatorname {Cos} .a'=\operatorname {Cos} .C-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .D\,;\end{aligned}}$

en prenant la différence de ces deux équations, il viendra, en transposant,

$2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .D=\operatorname {Cos} .C-\operatorname {Cos} .B=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B+C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B-C),$

et, par suite,

$\operatorname {Cos} .D={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B+C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}.\qquad$(xl)

L’angle $D$ étant déterminé, par cette formule, on trouvera ensuite (ii, II) et (VIII)

1. Cette formule a été donnée par M. Querret, dans la Connaissance des temps pour 1822., page 335.