Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/298

$\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c={\frac {p}{2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}},\qquad \qquad$(XV)

$\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C={\frac {P}{2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\qquad \qquad$(xvi)

$\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c={\frac {p}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}.\qquad \qquad$(XVI)

Introduisant ces valeurs dans les numérateurs des quatre dernières formules, elles deviendront

$\operatorname {Sin} .s={\frac {P}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}},\qquad \qquad$(xvii)

$\operatorname {Cos} .S=-{\frac {p}{2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}},\qquad \qquad$(XVII)

$\operatorname {Sin} .(s-a)={\frac {P}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\qquad \qquad$(xviii)

$\operatorname {Cos} .(S-A)={\frac {p}{2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}.\qquad \qquad$(XVIII)

Les formules (viii) et (VIII), divisées l’une par l’autre, donnent (ii)

${\frac {\operatorname {Sin} .A}{\operatorname {Sin} .a}}={\frac {p}{P}}.{\frac {\operatorname {Sin} .B}{\operatorname {Sin} .b}}.{\frac {\operatorname {Sin} .C}{\operatorname {Sin} .c}}={\frac {p}{P}}.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}A}{\operatorname {Sin} .^{2}a}}\,;$

c’est-à-dire,

${\frac {P}{p}}={\frac {\operatorname {Sin} .A}{\operatorname {Sin} .a}}.\qquad \qquad \qquad$(xix, XIX)

en introduisant tour-à-tour les valeurs de $\operatorname {Sin} .a$ et $\operatorname {Sin} .A,$ tirées de cette dernière formule, dans les formules (xiii), (XIII), (xiv), (XIV), et ayant égard à la formule (7), on trouvera