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$\operatorname {Sin} .b,$ dans l’équation résultante, sa valeur $\operatorname {Sin} .c.{\frac {\operatorname {Sin} .B}{\operatorname {Sin} .C}},$ divisant par $\operatorname {Sin} .a$ et chassant le dénominateur, il vient

$\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .c\operatorname {Sin} .C-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B\operatorname {Sin} .C\,;$

d’où, en divisant par $\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .C$ et transposant,

$\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cot} .c-\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cot} .C.\qquad (iii)$

En éliminant $\operatorname {Cos} .B,$ entre les deux équations (40), mettant pour $\operatorname {Sin} .B,$ dans l’équation résultante, sa valeur $\operatorname {Sin} .C.{\frac {\operatorname {Sin} .b}{\operatorname {Sin} .c}},$ réduisant, divisant par $\operatorname {Sin} .A$ et chassant le dénominateur, il vient

$\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .c=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .C\operatorname {Sin} .c+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\operatorname {Sin} .c\,;$

d’où, en divisant par $\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .c$ et transposant,

$\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .b=\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cot} .c-\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cot} .C.\qquad (III)$

Il est aisé de voir que les formules (iii) et (III) n’expriment qu’une seule et même propriété du triangle sphérique. Chacune d’elles, par la permutation des lettres, est d’ailleurs susceptible de trois formes différentes.

Les formules (i, I), (ii, II), (iii, III) ne laissent rien à désirer pour la résolution analitique des triangles sphériques ; mais les formules (ii, II) sont les seules qui se prêtent commodément au calcul par logarithmes ; cherchons-en donc d’autres qui jouissent de même avantage, pour suppléer à celles qui en sont privées.

Posons.

${\begin{array}{lr}a\,+\,b\,+\,c\,=2s,&\qquad (iv)\\A+B+C=2S.&\qquad (IV)\end{array}}$

Les formules (5), (i, I) donnent