Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/290

$\left({\frac {AG}{OA}}\right).\left({\frac {AH}{OA}}\right)\operatorname {Cos} .A=\left({\frac {OG}{OA}}\right).\left({\frac {OH}{OA}}\right)\operatorname {Cos} .a-1,$

c’est-à-dire :

$\operatorname {Tang} .b\operatorname {Tang} .c\operatorname {Cos} .A=\operatorname {Sec} .b\operatorname {Sec} .c\operatorname {Cos} .a-1\,;$

ou enfin, en multipliant par $\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c,$

$\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .A=\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c\qquad (i)$

Par un point pris arbitrairement dans l’intérieur de l’angle trièdre formé par les plans des trois côtés du triangle, et dont le sommet est conséquemment au centre de la sphère, abaissons des perpendiculaires sur les trois faces de cet angle trièdre, et considérons ces perpendiculaires comme les trois arêtes d’un nouvel angle trièdre. Il est aisé de voir que les arêtes du premier seront perpendiculaires aux plans de faces de celui-ci, d’où il suit que les angles dièdres de chacun seront les supplémens des angles plans correspondans de l’autre, et réciproquement ; et voilà pourquoi on dit que ces deux angles trièdres sont supplémentaires, réciproques ou conjugués l’un de l’autre.

Si donc du sommet du second comme centre on conçoit une sphère, les côtés du triangle sphérique intercepté seront $\varpi -A,\ \varpi -B,\ \varpi -C,$ et les angles respectivement opposés $\varpi -a,\ \varpi -b,\ \varpi -c\,;$ on doit donc avoir (i)

$\operatorname {Sin} .(\varpi -B)\operatorname {Sin} .(\varpi -C)\operatorname {Cos} .(\varpi -a)=\operatorname {Cos} .(\varpi -A)-\operatorname {Cos} .(\varpi -B)\operatorname {Cos} .(\varpi -C)$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Cos} .A+\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C.\qquad (I)$

Les formules (i) et (I) en donnent chacune deux autres qu’on