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§. II.

Résolution des triangles sphériques.

Soient $x,y,z$ les trois côtés d’un triangle rectiligne, et $X,Y,Z$ les angles respectivement opposés. En exprimant que chaque côté est égal à la somme des projections des deux autres sur sa direction, on aura les trois équations

$\left.{\begin{aligned}&x=y\operatorname {Cos} .Z+z\operatorname {Cos} .Y,\\&y=z\operatorname {Cos} .X+x\operatorname {Cos} .Z,\\&z=x\operatorname {Cos} .Y+y\operatorname {Cos} .X,\end{aligned}}\right\}\quad (37)$

Prenant la somme des produits respectifs de ces trois équations par $-x,+y,$$+z,$ transposant et réduisant, on aura

$2yz\operatorname {Cos} .X=y^{2}+z^{2}-x^{2}.\qquad$(38)

Soient présentement $a,b,c$ les trois côtés d’un triangle sphérique, et $A,B,C$ les angles respectivement opposés. Par le sommet $A$ soient menées aux côtés $b$ et $c$ des tangentes rencontrant en $G$ et $H$ les prolengemens des rayons menés du centre $O$ de la sphère aux sommets $B$ et $C.$ Les deux triangles rectilignes $GOH$ et $GAH$ donneront (38)

$2OG.OH\operatorname {Cos} .a={\overline {OG}}^{2}+{\overline {OH}}^{2}-{\overline {GH}}^{2},$

$2AG.AH\operatorname {Cos} .A={\overline {AG}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}-{\overline {GH}}^{2}\,;$

d’où, en retranchant et simplifiant,

$OG.OH\operatorname {Cos} .a-AG.AH\operatorname {Cos} .A={\overline {OA}}^{2}\,;$

ou encore