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En combinant entre elles les douze dernières formules, soit par voie de multiplication, soit par voie de division, on en obtiendrait une multitude d’autres, plus ou moins utiles, et auxquelles, comme à celles-là, le calcul par logarithmes serait facilement applicable. Parmi ces formules, nous ne signalerons que les huit suivantes, sur lesquelles nous aurons besoin de nous appuyer plus loin. L’inspection de leurs seconds membres indique assez comment elles ont été déduites des douze qui précèdent, en ayant égard à la formule (6),

${\begin{array}{lr}1-\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z+2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z=&\\\qquad \qquad \qquad \qquad +4\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .(t-x)\operatorname {Sin} .(t-y)\operatorname {Sin} .(t-z),&(29)\\\\1-\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z-2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z=&\\\qquad \qquad \qquad \qquad -4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .(t-x)\operatorname {Cos} .(t-y)\operatorname {Cos} .(t-z),&(30)\\\\1+\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z+2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z=&\\\qquad \qquad \qquad \qquad -4\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .(t-x)\operatorname {Cos} .(t-y)\operatorname {Cos} .(t-z),&(31)\\\\1+\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z-2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z=&\\\qquad \qquad \qquad \qquad +4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .(t-x)\operatorname {Sin} .(t-y)\operatorname {Sin} .(t-z).&(32)\\\\\end{array}}$

$\left.{\begin{array}{c}1-\operatorname {Sin} .^{2}x-\operatorname {Sin} .^{2}y-\operatorname {Sin} .^{2}z+2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\\=+4\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -t\right)\times \\\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-x)\right\}\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-y)\right\}\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-z)\right\},\\\end{array}}\right\}(33)$

$\left.{\begin{array}{c}1-\operatorname {Sin} .^{2}x-\operatorname {Sin} .^{2}y-\operatorname {Sin} .^{2}z-2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\\=+4\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -t\right)\times \\\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-x)\right\}\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-y)\right\}\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-z)\right\},\end{array}}\right\}(34)$

$\left.{\begin{array}{c}1+\operatorname {Sin} .^{2}x-\operatorname {Sin} .^{2}y-\operatorname {Sin} .^{2}z+2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\\=+4\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -t\right)\times \\\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-x)\right\}\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-y)\right\}\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-z)\right\},\\\end{array}}\right\}(35)$

$\left.{\begin{array}{c}1+\operatorname {Sin} .^{2}x-\operatorname {Sin} .^{2}y-\operatorname {Sin} .^{2}z-2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\\=+4\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -t\right)\times \\\operatorname {Cos} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-x)\right\}\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-y)\right\}\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {1}{4}}\varpi -(t-z)\right\},\end{array}}\right\}(36)$

Ces formules sont susceptibles de simplifications plus ou moins notables, lorsque la somme des trois arcs ou angles $x,y,z$ est de l’une de ces trois formes ${\frac {1}{2}}n\varpi ,\ n\varpi ,\ 2n\varpi .$